Doğrusal Denklemlerin Grafiğini Çizme
a ve b aynı anda sıfır olmamak üzere; ax+by+c=0 biçimindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu denklemde x ile y değişken, a ile b kat sayı, c ise sabit terimdir.
Denklemi verilen doğruların grafikleri aşağıda verilen adımlar izlenerek çizilir;
- Denklemi verilen bir doğrunun grafiğini çize bilmemiz için; bu doğrunun geçtiği iki noktanın koordinatlarını belirlememiz gerekir. Bu koordinatları, verilen denklemi kullanarak belirleriz. Denklemi kullanarak sonsuz sayıda nokta bulabiliriz ama; grafiği çizmek için 2 tane nokta yeterlidir. (İki noktadan bir doğru geçer.)
- Koordinatlar belirlenirken x değişkenine bir değer veririz (çoğunlukla sıfır değeri verilir) ve buna karşılık y değişkeninin alacağı değeri buluruz. Bulduğumuz (x,y) sıralı ikilisi doğrunun geçtiği noktalardan biridir.
Daha sonra y değişkenine bir değer veririz (çoğunlukla sıfır değeri verilir) ve buna karşılık x değişkeninin alacağı değeri buluruz. Bulduğumuz (x,y) sıralı ikilisi verilen doğrunun geçtiği noktalardan bir başkasıdır. - Bulduğumuz bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip cetvel yardımı ile birleştirdiğimizde doğrunun grafiğini çizmiş oluruz.
Her İki Ekseni de Kesen Doğruların Grafiği
Denkleminde hem x değişkeni hem y değişkeni hemde sabit terimi aynı anda bulunan, yani denklemi ax+by+c=0 biçiminde olan doğruların grafikleri her iki ekseni de keser.
ÖRNEK: Denklemi x+2y-4=0 olan doğrunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM: Verilen denklemi kullanarak 2 farklı nokta elde etmeliyiz.
x= 0 olsun. (x’e sıfır değerini biz verdik.)
x+2y-4=0 (Denklemde x yerine sıfır yazarak y’nin alacağı değeri bulmalıyız.)
0+2y-4=0
2y-4=0
2y=4
y=2 bulunur.
x=0 iken y=2 olduğundan, doğrunun geçtiği noktalardan biri (0,2) noktasıdır.
Şimdi de y yerine sıfır yazarak x’in kaç olduğunu bulalım.
y=0 olsun.
x+2y-4=0
x+2.0-4=0
x+0-4=0
x-4=0
x=4
y=0 iken x=4 olduğundan, doğrunun geçtiği noktalardan bir başkası da (4,0) noktasıdır.
Bulduğumuz bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip, bu iki noktadan geçecek şekilde bir doğru çizdiğimizde, çizdiğimiz doğru x+2y-4=0 denkleminin doğrusu olacaktır.
(0,2) ve (4,0) noktalarından geçen doğrumuzun grafiği aşağıdaki gibidir.
NOT: Her ne kadar x ve y değişkenlerine istediğimiz değeri verebiliyor olsak da, sıfır değerini vermek grafiğin çiziminde işimizi çok kolaylaştırır. Çünkü x’e sıfır değerini vermek grafiğin y eksenini hangi noktada kestiğini bulmaktır. x’in sıfır olduğu yer y ekseninin tam üzeridir. Aynı şekilde y değişkenine de sıfır değerini verdiğimizde grafiğin x eksenini hangi noktada kestiğini buluruz. Bu da grafiğin çizimini kolaylaştırır.
Başlangıç Noktasından Geçen Doğruların Grafiği
Denkleminde x ve y değişkenleri bulunup, sabit terimi bulunmayan (sabit terimi sıfır olan) yani denklemi ax+by=0 biçiminde olan doğruların grafikleri başlangıç noktasından (orijinden) geçer.
ÖRNEK: Denklemi 3x-y=0 olan doğrunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM: Verilen doğrunun grafiğini çize bilmemiz için 2 farklı noktaya ihtiyacımız var.
Bu noktaları yukarıdaki örnekte yaptığımız gibi elde edeceğiz.
x=0 olsun.
3x-y=0 denkleminde x yerine sıfır yazarak y’nin değerinin kaç olacağını bulalım.
3.0-y=0
0-y=0
y=0 bulunur.
Doğrumuzun geçtiği noktalardan biri (0,0) noktasıdır.
Grafiği çize bilmemiz için bir noktaya daha ihtiyacımız var. Bunun için önceki örnekte olduğu gibi y yerine sıfır yazmayacağız. Çünkü y yerine sıfır yazar isek x’i sıfır buluruz, bu şekilde elde edeceğimiz (0,0) noktasını zaten bulmuştuk. Farklı bir nokta bulmamız gerekiyor.
y yerine 3 yazalım.
y=3 olsun. (x’in kat sayısı 3 olduğundan y’ye 3 ile bölünebilen bir sayı değeri vermek işimizi kolaylaştırır.)
3x-y=0 denkleminde y yerine 3 yazarak x’i bulalım.
3x-3=0
3x=3
x=1 bulunur.
Noktamızın koordinatı (1,3) olur.
Şimdi sıra geldi doğrunun grafiğini çizmeye, (0,0) ve (1,3) noktalarından geçecek şekilde grafiği çizelim.
Eksenlere Paralel Olan Doğruların Grafiği
Denkleminde x ve y değişkenlerinden sadece biri ile sabit sayı bulunan, yani denklemi ax+c=0 veya by+c=0 biçiminde olan doğruların grafikleri eksenlere paraleldir.
ax+c=0 biçiminde denklemi olan doğrular x eksenine dik, y eksenine paralel iken; by+c=0 biçiminde denklemi olan doğrular y eksenine dik, x eksenine paraleldirler.
ÖRNEK: Denklemi 2x+6=0 olan doğrunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM: 2x+6=0 denklemi çözülür.
2x+6=0
2x=-6
x=-3 bulunur.
Denklemde y değişkeni olmadığı için, y’nin değeri ne olursa olsun x’in değeri -3 olacaktır.
Yani doğru x eksenini -3 noktasında kesen ve y eksenine paralel olan bir doğrudur. Grafiği de aşağıdaki şekildedir.
ÖRNEK: Denklemi y=2 olan doğrunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM: Verilen denklem zaten çözülmüştür, yani y’nin değeri bellidir.
Grafik y eksenini 2 noktasında kesen ve x eksenine paralel olan bir grafiktir. Grafiğin çizimi aşağıdaki şekildedir.
NOT: x ekseni y=0 doğrusunun grafiğidir.
y ekseni de x=0 doğrusunun grafiğidir.
